How Does Dvr And Rating

am a particle of barium ... (Part III)

"Iuuuu?!? Anyone ?!?!"

[Particle Barium in a trail of chemistry.]
Here we go again. Arriving finally at the third and final part of the treatment of mathematical models for the individual particles (the particle in the next considerations barium will not be alone, but will have an uncountable infinity of friends).

Ordunque, what remains to be addressed:

 1) The equivalent diameter; 
 2) The viscosity of the air as a function of temperature; 
 3) Air density as a function of temperature; 

4) The general equation for the dynamics of a single particle.

  Quando si analizza il particolato, oltre a fornirne la distribuzione (per esempio dei diametri o delle masse in funzione del numero di particelle) occorre anche tenere in considerazione il raggio o il diametro equivalente. Insomma finora abbiamo visto che il raggio equivalente R 
 p 
  compare quà e là nelle formule con una certa insistenza. Faccio notare per l'ennesima volta, che mai uno sciachimista mi abbia saputo fornire i numeri di Knudsen, la granulometria, le distribuzioni di qualsivoglia grandezza in funzione del numero di particelle, nè tantomeno la composizione. Mai inoltre ho visto delle considerazioni che possano essere chiamate "plausibili" (pretendere che siano rigorose è troppo). Quanto alla teoria lo scopo di questo blog is just about: to provide the tools needed to make some basic considerations, to develop simple models of their hand and begin to understand more complicated models that are often used in the simulation of the evolution of atmospheric phenomena. 

After this brief digression, however, we return to the diameter (radius) equivalent.
The equivalent diameter is by far the easiest

equivalent volume diameter, defined as: D_ {ve} = \\ sqrt [3] {\\ frac {6} {\\ pi} V_ {p}}
which is nothing, that the diameter of a spherical particle having the same volume of non-spherical particle under examination. V p è ovviamente il volume della particella in esame. Ancora una volta, il discorso sulle semplici particelle sferiche è troppo approssimativo, quindi tanto per cambiare occorre introdurre un fattore di correzione alle varie formule: il fattore di forma dinamico (dynamic shape factor). Questo, altro non è che il rapporto tra la forza F < e D di Stokes misurata che agisce sulla particella e la forza F
Dve
di Stokes che agirebbe su una particella avente diametro volumetrico equivalente:

  
 \chi=\frac{F_{D}}{F_{D}^{ve}} 
  

Ovviamente per le forme irregolari questo fattore è maggiore di 1.0 (ovviamente per piccoli numeri di Reynolds). The Reynolds number is essentially a numerello that appears in the Navier-Stokes equations when they are Adimensionalisation, and expresses the ratio of inertial forces and viscous forces (of course with respect to air in laminar flow, and particles in the examination Reynolds numbers are low enough). As it happens for particles of quartz (another fundamental ingredient of chemtrails, also known as silicon dioxide, essential component of desert aerosol, commonly known to all as "sand") value was measured and controlled: χ = 1.36, for fibers instead (another key ingredient of chemtrails) which have a length-diameter ratio> 20, χ = 1.06 (the fact che sia più piccolo è dovuto al fatto che le fibre tendono ad orientarsi lungo il flusso del fluido), e per un cilindro (rigido) che abbia un rapporto lunghezza-diametro parti a 10, il fattore di forma dinamico è pari a χ=1.43.
Ora come introdurre questo fattore nelle formule? Nulla di più semplice: l'espressione della forza di Stokes che è stata usata nelle prime equazioni è:

  
  
 F_{s}=\frac{6\pi \mu R_{p}}{C_{c}}\cdot u_{rel} 

 Ebbene, risolvendo la banale equazioncina per il fattore di correzione dinamico di forma possiamo ottenere la forza effettiva in funzione della forza teorica e del fattore di correzione. Quindi invece di  usare il termine 
  
  

\frac{6\pi \mu R_{p}}{C_{c}}\cdot (u_{z}-v_{z})

 nell'equazione differenziale per il moto della particella useremo il termine: 
  
  

\frac{6\pi \mu R_{ve}\chi}{C_{c}(R_{ve})}\cdot (u_{z}-v_{z})

dove R
ve è il raggio volumetrico equivalente della particella. Ora però manca una cosa, si è considerata la stessa velocità terminale (nell'aria quiescente), ma non la stessa densità. Quale sarebbe invece il diametro equivalente di una particella sferica che ha la stessa densità e la stessa velocità terminal non-spherical particle in question? The

Stokes diameter, defined as:
D_ {st} = \\ sqrt {\\ frac {18} v_ {t \\ mu} {(\\ rho_ {p} - \\ rho) g C_ {c} ( D_ {st})}}

t where v is the terminal velocity of the particle. Note that unlike the classical formulation is considered more appropriate not to use the actual density of the particle, but also take into account the properties of buoyancy. Now the catch of this formula is that to calculate the Stokes diameter, each time we solve a nonlinear equation (given the bad shape of C c

, unless qesto not results close to 1).

The Stokes diameter is related to the volumetric equivalent diameter (volume equivalent radius multiplied by 2) by the following equation: < Tc) ed RH

D_ {st} = D_ {ve} \\ sqrt {\\ frac {C_ {c} (D_ {ve })} {\\ chi C_ {c} (D_ {st})}}
What is called in literature

Aerodynamic Equivalent Diameter
is none other than the Stokes diameter, for which it is assumed that the particle has the same density as water. Once treated

diameters, let's consider the viscosity, which also occurs in the formulas quite often. Fortunately, it has already been studied very tempo fà, da un tale Sutherland, che ha tirato fuori una relazione per la viscosità dell'aria in funzione della temperatura:

\mu = 18.27\cdot 10^{-8}\frac{411.15}{T(z)+120}\sqrt{\left(\frac{T(z)}{291.15}\right)^{3}}
dove T(z) è la temperatura in Kelvin (ovviamente dipendente dall'altezza z), μ la viscosità dell'aria in hPa·s (millibar per secondo).

Per quanto riguarda la densità, ci sono sostanzialmente tre strade possibili:
1) Mettersi a combattere con l'equazione di stato di Lennard-Jones

2) Usare l'equazione di Van der Waals 3) Usare l'equazione of state for ideal gases The first, because we exclude the approximate since the model already has put a lot of sense to develop super precise formulations that would then still marginal effects
The last is a bit 'too trivial, but papabile for its simplicity:

\\ rho = \\ frac {p (z) \\ cdot M} {R \\ cdot T}

where p (z) is the pressure in Pa, M is the molar mass the Earth's atmosphere 0.0289644 [kg / mol], T is temperature [K], R universal gas constant equal to 8.314472 [Pa · m³ / (mol · K)], and ρ is the density [kg / m³]. Obviously if la pressione è p hPa, basterà mettere nella formula 100·p invece che p ed i conti tornano nuovamente. La seconda possibilità (usare la formula di Van der Waals) è un buon compromesso tra complessità e precisione. Consideriamo l'equazione di stato di Van der Waals:
\left(p(z)+a\frac{n^{2}}{V^{2}}\right)\cdot(V-n\cdot b)=nRT

ora dal momento che interessa la densità, bisogna ricorrere ad un'altra formuletta per poterla tirare fuori:



\frac{n}{V}=\frac{1}{V_{m}}=\frac{\rho}{M}


Usando questa espressione nell'equazione and highlighting a V in the second parenthesis of the left hand side until you come to the equation:

\\ left (p (z) + a \\ frac {\\ rho ^ {2} {M} ^ {2}} \\ right ) \\ cdot (1 - \\ frac {\\ rho} {M} \\ cdot b) = \\ rho \\ frac {R} {M} T

 
 At this point, however, because we want to model realistic weather conditions, we must consider a couple of things: first, we must also consider the fact that there is only air in the air, there is also steam and secondly the fact that the overall density will be the sum of two contributions: ρ 
 to 

and

ρ v (respectively air density e del vapore), che soddisferanno due equazioni di Van der Waals leggermente differenti. Quanto alle pressioni, applicanto la legge di Dalton sull epressioni parziali, possiamo calcolarle tutte, dal momento che e(z,T) si può calcolare e p(z) è nota (fornita dalle misurazioni atmosferiche). L'equazione per l'aria: \left(p(z)-e(z,T)+a\frac{\rho_{a}^{2}}{M^{2}}\right)\cdot(1-\frac{\rho_{a}}{M}\cdot b)=\rho_{a}\frac{R}{M}T

con b = 3.64·10^(-5)[m³/mol] ed a = 0.001358 [hPa (m^6)/mol²] e l'equazione per il vapore:

\left(e(z,T)+a\frac{\rho_{v}^{2}}{M^{2}}\right)\cdot(1-\frac{\rho_{v}}{M}\cdot b)=\rho_{v}\frac{R}{M}T

con b = 30.52·10^(-6)[m³/mol] ed a = 0.005536 [hPa (m^6)/mol²].

Ora tutte che tutte le costanti sono state definite, non resta che vedere cos'è la variabile e(z,T). Questa però altro non è che la pressione del vapore, definibile attraverso l'umidità relativa u (nell'intervallo [0,1]) e la pressione di saturazione del vapore attraverso la relazione:

e(T)=e_{s}(T)\cdot u(z)

ora dove e

 s 
  è la pressione di saturazione del vapore che abbiamo già incontrato nell'articolo intitolato  
 Appleman v2.0 

and for this we can safely use one of the two proposed models.
So the two equation for the air and steam respectively become:

 \\ left (p (z)-e_ {s} (T) \\ cdot u (z) + a \\ frac {\\ rho_ {a {2} ^ {M}} ^ {2}} \\ right) \\ cdot (1 - \\ frac {\\ rho_ {A} {M}} \\ cdot b) = \\ rho_ {a} \\ frac {R} {M T} 
 
 

and

\\ left (e_ {s} (T) \\ cdot u (z) + a \\ frac {\\ rho_ {v} ^ {2} {M} ^ {2}} \\ right) \\ cdot (1 - \\ frac {\\ rho_ {v}} {M} \\ cdot b) = \\ rho_ {v} \\ frac {R} {M} T
To find the total density ρ (z, T ) you just have to replace i numeretti e risolvere le due equazioni. Una volta ottenuti i risultati:

 \rho(z, T) = \rho_{a}(z, T)+\rho_{v}(z,T) 
  
  

Ora per il profilo di temperature, si possono benissimo prendere i dati di una sonda (come abbiamo già fatto, in "
Appleman v2.0

"), interpolarli ed usarli insieme a tutta la paccottiglia che abbiamo fin qui derivato nell'equazione differenziale. Stesso discorso vale per i dati relativi alla pressione ed all'umidità relativa. Unica accortezza in questo caso è interpolarli in modo furbo, in modo tale da non creare discontinuità e punti di non derivabilità.
Ora però, siccome ho promesso to provide the general equation for the motion of a particle, here are satisfied:

 
 m_ {p} \\ frac {dv_ {z}} {dt} = \\ frac {6 \\ pi \\ mu (T (z)) R_ {eq} \\ chi} {C_ {c} (R_ {eq})} \\ cdot (v_-u_ {z} {z}) + 
 V_ {p} \\ rho (z, T (z)) \\ frac {z} u_ {d} {dt} + \\ frac {V_ {p}} {2} \\ rho (z, T (z)) \\ left (\\ frac {z} u_ {d} {dt} - \\ frac v_ {z} {d} {dt} \\ right) + +6 

R_ {eq} ^ {2} \\ sqrt {\\ pi \\ mu (T (z)) \\ rho (z, T (z) )} \\ int \\ limits_ {0} ^ {t} {\\ frac {\\ frac {du_ {z}} {d \\ tau} - \\ frac {dv_ {z}} {d \\ tau}} {\\ sqrt {t - \\ tau}} d \\ tau} + \\ sum \\ limits_ {i} {i} Fe_

with V p

 
 volume of the particle, ρ the sum of two solutions of the equations of Van der Waals written before, μ given by the equation of Sutherland and the rest as before. 
 Now the second term is to take account of the pressure gradient around the particle due to acceleration of the fluid along the edge of the particle in question. The third term is the force required to accelerate the apparent mass of the particle relatively to the fluid. The integral is the integral of bad Basset, used to take into account the forces that are created due to the fact that the motion of the particle disturbs the quiescent fluid. And finally, the summation is nothing more than the sum of all external forces acting on the system (electrical fields, gravity, etc.), if one considers only the gravity, the time limits will only 

m p
° G.

Obviously, the term 2, 3 and 4 are usually omitted to simplify the model.

In future articles, we'll see the simulations with a model a bit 'more seriously and begin to formulate continuum models based on PDE, using the results obtained from the motion of a single particle.